- .
( ):
Мы хотели бы поблагодарить многих наших коллег, которые внесли вклад в наше понимание идей, обсуждаемых в этой книге. Мы признательны также проф. Абар-банелу за критическое чтение рукописи.
Стивен JI. Адлер
Принстон, Нью-Джерси, ноябрь 1967 г. [ Роджер Ф. Дашен
ОБОЗНАЧЕНИЯ
Введем обозначения, которых мы будем придерживаться в главах этой книги. Обозначения включенных в нее журнальных статей, разумеется, довольно разнообразны. Для облегчения ссылок на статьи мы дадим краткий „словарик", позволяющий переходить от одних обозначений к другим. Во всей книге будут использоваться натуральные единицы (й = с = 1).
§ 1. Метрика Бьёркена — Дрелла и уматрицы
Всюду в тексте глав мы будем использовать метрику и уматрицы, которые используются в книгах Бьёркена и Дрелла [1, 2]. Координаты t, х, у, z будем обозначать контравариантным 4-вектором
*** = (х°, х\ х2, х3) = (t, х, у, z) = (t, х). Ковариантный 4-вектор Хц равен
%=*(*<)> *i> *2. *3) —(*. —х, —у, —z) = JCV,
где метрический тензор guv = имеет вид
Четырехмерный вектор импульса (4-импульс) частицы определяется следующим образом:
отсюда, суммируя по повторяющимся индексам, получаем р2 = р^рц = т2.
р1* = (Е, рх, ру, рг) = [(р2 + т2)7', р];
Обозначения
U
Скалярное произведение двух 4-импульсов равно
Р, ' Р2 = Р?Рз* = РщР£ = EiE2 ~ Pi ’ Р2 = Р?Рг ~ Pi * Р2.
Точно так же определяется произведение двух произвольных 4-векторов. 4-вектор электромагнитного потенциала определяется выражением
А* ^ (Ф, А),
где Фи А-обычные скалярный и векторный потенциалы. 4-векторы всегда будут обозначаться обычным шрифтом,
3-векторы — полужирным шрифтом.
Для четырехмерного градиента будем использовать обозначения
д д дц, д
<3ц = ~Г7Г > д =
дх* ’ дх„’
например, 4-дивергенция 5^ = (В0, В) равна
Четырехмерный лапласиан, обозначаемый □*, определяется следующим образом:
Пусть /^.обозначает оператор 4-импульса. Коммутатор произвольного полевого оператора F (х) с оператором Р* равен
[Р», F(x)]-----id* F (х).
Это дает полезную формулу сдвига координат F(x) = eiP'xF(Q) e~iP'x.
Антикоммутационные соотношения для у_матриц уравнения Дирака имеют вид
{ у**, yv } = YM'YV + YvYti = 2g*v.
Эти матрицы связаны с матрицами Дирака аг и |3 соотношениями
/ = К (/- = 1,2,3), Y° = P.
12
Обозначения
Мы часто будем использовать комбинации
2
Y5 = Y5 = jyVyV,
С „ д а д , а d
5==Y а?г = р^ + ра'5Г-
Стандартное представление для матриц Дирака имеет следующий вид. Пусть 1 и о' (г = 1, 2, 3) обозначают единичную и паулиевские спиновые 2 X 2-матрицы
1 =
-г2 —-
1 о
о 1 .
0 — i
1 О
a1 =
о3 —
0 1
1 О 1 О О -1
Тогда ar (r= 1, 2, 3) и р можно представить 4 X 4-матрицами
г Г° 1 0'
0. 9 Р = 0 —1. •
представлении '
' 0 аг] '1 0 '0 г
-о' 0j’ /> = .0 —I > Y -1 0.
Как обычно, р обозначает р^/у11-
Спинор и (р, s), соответствующий положительной энергии (р — 4-импульс, s — спиновая переменная), удовлетворяет уравнению Дирака
(р-т)и(р, s) = 0;
сопряженный же спинор й (р, s) = и+ (р, s) v° удовлетворяет уравнению
й(р, s) (р — т) = 0.
